捷凯数奥文章--同余

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同余

　　[学法点拨]

　　同余，从字面上理解，就是余数相同.解答好此类题的前提是要很好地理解和掌握整除、公约数的一些知识，这样运用起来才能得心应手.

　　1.求2008除以7的余数.（你们知道2008年是什么日子吗？）

　　解：同学们也许会问，同余、同余，怎么求一个数除以另一个数的余数呢，它们两个数相除余数只有一个，谈不上"相同"，你不要着急.因为只有你明白了这道题的来龙去脉，那么后面的题你也就会迎刃而解了.
可以先去掉7的倍数1400余608，再去掉560还余下48，再去掉42最后余下6.这个过程可简单地记成： 2008→608→48→6.从这几个数我们可以看出，它们除以7都余6.
　　答：2008除以7的余数是6.

　　因为2008、608、48、6除以7的余数相同，所以2008-608、608-48、2008-6、608-6这几个算式的结果能被7整除.由此不难得出这样十分有用的结论：如果若干的数被同一个数除余数相同，那么这若干个数两两之差（大减小）必能被这个数整除.

　　1.试一试：求2008除以13的余数

　　2.有一个大于1的整数，它除1000，2001,967得到相同的余数（不为0），那么这个整数是多少？

　　解：由上面的结论，所求整数应能整除967，1000，2001的两两之差，即
　　2001-1000=1001=7×11×13
　　1000-967=33=3×11
　　2001-967=1034=2×11×47
　　这个整数是这三个差的公约数11.
　　答：这个整数是11.

　　你们想一想，只求出两个差行不行呢？

　　2.试一试：有一个整数，用它去除300、262、205，得到的余数相同.这个数是多少？

　　3. 数2001，2232除以整数n，得到相同的余数，而且这个余数是合数，求n.

　　解：根据余数相同，所求的数应能整除2001与2232的差，即
　　2232-2001=231=3×7×11
　　由此我们知道n可能是3或7或11，究竟哪个符全合条件呢，这我们得认真对待，千万不能手懒.只要试一试即可，得7和11、21、33、77都符合条件.
　　答：n是7或11或21或33或77.

　　3.试一试：有141、206、271分别除以m，余数相同并且都是奇数.m最大是几？

　　4.用一个自然数去除715和903所得余数相同，且商相差4.求这个数.

　　解：根据两个数除以同一个数余数相同的特点，我们可以得到903 -715的差能被这个数整除，又因为所得的商相差4，也就是903 -715的差除以这个数应该得4，要求这个数，即可用（903-715）÷4=47，即所求的数为47.
　　答：这个数是47.

　　此类题可以归结为：甲乙两个数除以一个相同的数，余数相同，且商相差n(n>1)，则这个相同的数为（甲-乙）÷n.

　　4.试一试：某个大于1的整数，除1975，2008所得的余数相同，且商相差11.求这个数.

　　5.若2836，4582，5146，6522四个自然数被一个自然数相除，所得余数相同且为两位数，除数和余数的和为多少？

　　解：根据若干个自然数除以同一个自然数所得余数相同，那么它们两两的差定能被这个自然数整除.于是得：
　　4582-2836=1746
　　5164-4582=582
　　6522-5164=1358
　　因为（1746，582，1358）=194，所以除数是194的大于10的约数.符合条件的只有97和194.如果除数=194，5164÷194=26……120（此处可以用原题中四个自然数中的任意一个都可，为什么？）余数不是两位数，与题意不符.如果除数是97，经检验，余数都是23，除数+余数=97+23=120.
　　答：除数与余数的和是120.

　　5.试一试：有一个整数，除1200，1314，1048所得的余数相同且大于5.问：这个数与余数的和是多少？

　　6.有三个不同的三位数，它们分别除以a ，得到的余数相同而且是最大二位偶数，当a为两位数时，这三个数最小的和是多少？

　　解：这道题看似很难，但我们不妨换个角度去考虑.我们先从相同的余数入手，因为余数是最大的两位偶数，我们马上意识到余数是98，既然余数为98，a只能得99.这样此题便可很轻松的完成.最小的三位数是 1×99+98=197，另外的两个三位数分别为296和395.（仔细看这三个数，有什么规律吗？对！相邻的两个数相差99）于是得到此题结果为197+396+395=1188.
　　答：三个数的最小和是1188.

　　如果给的不是三个三位数而是其它的任意情况，同样可以采取这种方法去解题.

　　6.试一试：已知四个四位数分别去除以y，所得的余数相同并且是三位奇数，当y最小时这四个数的和最大是多少？

　　7.将一批货物共375千克装入纸箱，每箱装10千克，最后余多少千克？

　　解：此题我们不可能将求出来，然后去除以10，求出余数.但我们可以借助同余的办法来求，我们首先看下面一组说明：
　　3 除以10的余数是3；
　　3²除以10的余数是9；
　　3³除以10的余数是7；
　　3⁴除以10的余数是1；
　　3⁵除以10的余数是3；
　　3⁶除以10的余数是9；
　　3⁷除以10的余数是7；
　　3⁸除以10的余数是1；
　　……
　　这就说明每隔4个数除以10的余数就相同.又因为75÷4=18……3即 3⁷⁵除以10的余数与 3³除以10所得余数相同，得7.
　　答：每箱装10千克最后余下7千克.

　　7.试一试：粮库有7⁷¹千克大米，用每袋50千克的袋子装，最后余下多少千克？

　　8.在1~500的自然数中，除以16，40余数（0除外）相同的数有多少个？

　　解：因为16与40的最小公倍数是80，1~500的自然数除以16与40相同的余数情况有：1，2，3，4……15，共15种，也就是在连续的80个数中有15个数符合条件，500个自然中有的个数为：500÷80=6……20，在余下的20个数中有15个余数相同.这证明有7个15，所以在1~500中除以16与40余数相同的数有15×7=105个.
　　列式：[16，40]=80
　　500÷80=6……20
　　（6+1）×15=105
　　答：在1~500的自然数中，除以16，40余数相同的数共有105个.

　　8.试一试：在小于1000的自然数中，除以15及33而余数（0除外）相同的数有多少个？

　　9.希望小学六年级和五年级去春游，每辆车可乘36人.六年级先坐满几车，剩下的16人与五年级坐满一车，五年级又坐满若干车.到达目的地后，每一个五年级的学生和每一个六年级学生合影一张，每个胶卷可拍36张.全部学生照相完毕，最后一个胶卷还剩几张未拍？

　　解：解答此题的关键是求出最后一个胶卷归了几张，即以全影张数为被除数，36为除数，求余数.假如将五、六年级合乘一车的16名学生和20（36-16=20）人去掉，那么其余五、六年级的学生合影正好可以用掉整数卷胶卷.这样一来我们只考虑五年级那16人与六年级那么20人即可.因为每人都要与不同年级的人合影，所以这16人与20人要合影320（根据乘法原理16×20=320）张.所有人都拍完后的总张数除以36所得的余数与320除以36余数相同，为32，所以最后一个胶卷照了32张.于是有36-32=4张，即最后一个胶卷还剩4张.
　　列式：36-16=20（人）
　　16×20=320（张）
　　320÷36=8……32
　　36 - 32 = 4（张）
　　答：最后一个胶卷还剩 4张.

　　9.试一试：甲、乙两个旅游团乘车参观，每辆车可乘35人，两团成员坐满若干辆车后，甲团余下的15人与乙团余下的成员正好又坐满一辆车.为了纪念这次参观，甲乙两团的每个成员都与不同团的每人合拍一张照片留念.如果每个胶卷可拍35张照片，那么拍完最后一张照片后，相机里的胶卷还可拍几张照片？

　　10.甲、乙、丙、丁四个学校分别有69人、85人、93人、97人旅行.现在要把这四校学生分别进行分组，并使每组的人数尽可能多，以便乘车参观游览.已知甲、乙、丙三个学校分组后，所剩的人数相同，问丁校分组后还剩下几个人？

　　分析：从表面上看，这道题目问的是"剩余"人数，但我们知道"剩余"是因为不能被整除而产生的，所以，解答这道题目的关键是求"每组有几人"（即求除数）
这个除数在何处找呢？其实呀，它远在天边，近在眼前，这个除数就藏在它的"差"里.这是为什么呢？我们可以这样想：既然甲、乙、丙三个学校人数被某数除的余数相同，那么这三个数的两两之差一定能被这个数整除（因为它们相减时，余数恰好相互"抵消"了）.
　　懂得了以上这个道理之后，再来解答这个问题就不困难了.甲、乙、丙三校人数的差分别是：93-69=24
　　85-69=16
　　93-85=8
　　不难看出，它们的最大公约数是8.这也正是我们所要寻找的"除数".
　　验证如下：
　　69÷8=8……5（分成8组，剩下5人）
　　85÷8=10……5（分成10组，剩下5人）
　　93÷8=11……5（分成11组，乘下5人）
　　最后来推算丁校分组情况：
　　97÷8=12……1
　　答：丁校分组后剩下1人.

　　10.试一试：乐乐玩具店有大小相同的红、蓝、黄、绿四种颜色的小球各344个、277个、411个和555个.现在要用一种精致的小盒分别去装这些小球，每只盒子里装的小球同样多.真巧！剩下的红、蓝、黄三色小球也恰好同样多.小剩下的绿球有多少个？

　　[方法归纳]如果若干个自然数除以同一个自然数，余数相同，那么这些自然数两两之差必能被这个自然数整除.

　　参考答案

　1. 6.
　2. 1或19.
　3. 65.
　4. 3.仿例4.
　5. 60.提示：这个整数为38，余数为22.
　6. 39368.提示：y为102，余数为101.这四个数分别是9995，9893，9791，9689.
　7. 43千克.提示：7的1次方开始除以50的余数分别是7，49，43，1，7，49，43，……
　8. 93.仿例8
　9. 15张.仿例9
　10. 19个