利用规律，速解题

于东凯 132021 吉化集团公司第三小学

我在读《小学数学奥林匹克竞赛解题方法大全》（曾庆安/编著 山西教育出版社）时。认为‘P292例4 50枚棋子围成了一个大圆圈，依次编上号码1、2、3……50。按顺时针方向，每隔一枚拿掉一枚，直到剩下最后一枚棋子为止。如果剩下的这枚棋子的号码是“39”，那么，第一个被取走的棋子的号码是多少？’这道题有比较简单的解决办法，现写出来与各位老师商榷。

为了便于对比先看原著的解法。

分析：此题若从正面入手难度非常大，我们应当从反面思考，即从最后剩下的“39”号开始“倒着”去想：

第一次从“39”开始“倒着”住前取：39、37、35……   3、1、49、47 ……，余下的就是全部偶数；

第二次从“38”开始，仍按“逆时针”方向取：38、34、30、26、22、18、14、10、6、2、48、44、40。此时剩下的棋子为：36、32、28、24、20、16、12、8、4、50、46、42：

第三次从“32”开始取棋子：32、23、16、8、50和42。此时余下的棋子号为：36、28、20、12、4、46；

第四次从“28”开始取棋子：28、12和46。此时余下：36、20和4；

第五次从“20”开按逆时针方向取20、36，最后余下棋子号码为4。因此，第一个被取走的棋子的号码为“4”。

我认为此题从正面入手难度并不大，在做这道题时，恰恰就是从正面入手的。

我们先从简单情况分析，按顺时针方向先从第1枚拿，假如只有4枚，经过操作剩下的是第4枚。假如有5枚，最后剩下的是第2枚。假如有7枚，最后剩下的是第6枚。假如有10枚，最后剩下的是第4枚……

综上我们可以发现如下规律：棋子总数为2^a＋m（a≥0，2^a＞m≥0）枚，按顺时针方向，从1开始（即先拿第1枚）每隔一枚拿掉一枚，直到剩下最后一枚棋子为止。最后剩下的是 ① 当m=0时，剩下的是第2^a枚。 ② 当m＞0时，剩下的是第2m枚。

用这种方法就可以知道曾老师的这道题如果按顺时针方向先拿第1枚，最后剩下的是第36枚（50=2⁵+18， 2×18=36）。因为从36到39有4个数，所以最先拿的是第4枚。

进一步得到：棋子总数为2^a＋m（a≥0，2^a＞m≥0）枚，按顺时针方向，每隔一枚拿掉一枚，直到剩下最后一枚棋子为止。最后剩下的是第T枚，则第一次拿走的是 ① 当T＞2m时，为T－2m（2^a）＋1枚。 ② 当T＜2m（2^a）时，为2m＋2^a－T＋1枚。

回过头来我们想一想，如题目中棋子的数目很大，用曾老师的方法是不是很麻烦呢？

由此我们不妨把这道题进一步变形，有150名学生围成了一个大圆圈，依次编上号码1、2、3……150。按顺时针方向，1、2报数，凡报1的学生离开，直到剩下最后一名学生为止。如果剩下的这枚棋子的号码是“120”，那么，第一个报数的学生号码是多少？(答案76号。T=120，150=2⁷+22，120－22×2＋1=76)

经过分析比较，我感到解数学题的策略关键在于寻找内在规律，用规律可以帮助我们迅速解题。